Boole et Bill
March 2019 dans Algèbre
Bonsoir tout le monde, je bloque sur la conclusion d’un exercice,
Soit $K$ un corps de caractéristique nulle, et soit $P\in K[X]$ tel que $P(X)=P(X+1)$. Montrer que $P$ est constant.
Je suppose par l’absurde que $P$ est de degré $n>1$. Soit $H$ un corps de décoimposition de $P$, et soit $\alpha_1,...,\alpha_n$ ses racines. Elles vérifient : pour tout $i$, il existe $j$ tel que $\alpha_i +1 = \alpha_j $.
Je suis persuadé que je peux conclure assez rapidement à partir de là mais je n’y parviens pas, des idées? D’autres approches?
Au plaisir de vous lire, B&B
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melpomène
March 2019
Si $P$ est non constant, il admet une racine $\alpha$ dans un surcorps suffisamment grand (une clôture algébrique de $K$, un corps de rupture ou un corps des racines de $P$..)
Mézalor, que dire de $\alpha+1 ?$ $\alpha+2$ ? $\alpha+n$ ?
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Boole et Bill
March 2019
Je l’ai! Comme \[ \sum \alpha_i = \sum (\alpha_i +1) \] par égalité de $P(X)$ et $P(X+1)$, je dois avoir $n=0$, ce qui est exclu
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Boole et Bill
March 2019
Merci pour la réponse :-)
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marsup
March 2019
C'est de l'algèbre linéaire.
Sur $K_n[X]$ l'application $P\mapsto P(X+1)$, est représentée dans la base canonique par une matrice triangulaire supérieure $T$ avec des 1 sur la diagonale (transposée du triangle de Pascal)
Si on regarde le sous-espace propre pour la valeur propre 1, on trouve $T-I$ de rang $n$, donc $\dim(\ker(T-I)) = 1$, et $\ker(T-I) = K_0[X]$.
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Boole et Bill
March 2019
Merci pour vos réponses, très élégante je dois dire
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Par le principe des pigeons il existe une racine $\alpha$ et un entier $k$ tel que $\alpha + k = \alpha$, pas possible en caractéristique $0$.
Edit : eh bah je penserais pas qu'il y aurait autant de réponses ...
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skilveg
March 2019
$P-P(0)$ est nul sur $\Z\,1_{K}$ qui est infini...
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ev
March 2019
Bonsoir B&B.
Peux-tu trouver un polynôme $P$ non constant vérifiant $P(X+1) = P(X)$ ?
Peux-tu trouver un corps $K$ de caractéristique positive pour lequel on a
\[ \forall P \in K[X], \; (P(X+1) = P(X) \implies \deg P \leqslant 0) ? \]e.v.
Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.
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Boole et Bill
March 2019
Bonsoir ev,
Pour la première question, dans $\mathbf{F}_2[X]$, le polynôme $X^2+X+1$ a l’air de marcher. Pour la deuxième, je dois y réflechir
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ev
March 2019
Ok pour $F_2$.
Et dans d'autres corps ?
Pour d'autres degrés ?e.v.
Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.
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Boole et Bill
March 2019
Dans $\mathbf{F}_p[X]$, le polynôme $X^p+X+1$
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Boole et Bill
March 2019
D’ailleurs ma dernière réponse répond à la deuxième question
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ev
March 2019
Il n'y a pas un petit problème de signe ?
e.v.
Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.
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Boole et Bill
March 2019
Aïe il y a plus qu’un problème de signe, on est plus en caractéristique 2
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ev
March 2019
a écrit:
D’ailleurs ma dernière réponse répond à la deuxième question
Je ne vois pas pourquoi.
e.v.
Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.
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Boole et Bill
March 2019
Oui je retire les deux derniers messages ;-)
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ev
March 2019
Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.
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Boole et Bill
March 2019
Je rajoute un $-2$, normalement ça fait l’affaire : $(X+1)^p+(X+1)+p-2=X^p+X+p-2$
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Boole et Bill
March 2019
Mais pour n’importe quel corps de caractéristique $p$, le polynôme que j’ai exhibé fonctionne, donc la réponse à la deuxième question est non, non?
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ev
March 2019
Oui sur le fond, sauf que ton exhibition n'est pas irréprochable... (sauf lorsque $p=2$)
Rappel : en caractéristique $p$, on a $p=0$.
e.v.
Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.
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marsup
March 2019
En caractéristique $p$, on a : $\binom{p}{k} = 0$ pour $1 \le k \le p-1$.
Donc : $(X+1)^p = X^p + 1$ (propriété de Frobénius ?) pardon ev !
Ainsi $P(X) = X^p - X$ vérifie $P(X+1) = P(X)$.Une remarque c'est que, justement $P(X) = X^p - X$ a pour racines les $p$ éléments de $F_p$, et donc, du coup, $P(X+1)$ aussi d'où (même factorisation) : $P(X+1) = P(X)$ dans $F_p[X]$, et donc aussi dans toute extension de $F_p$.
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ev
March 2019
Par ailleurs rajouter ou soustraire une constante (qui appartient au noyau de $P \longmapsto P(X+1) - P(X)$ ) ne change pas grand chose.
@ marsup : Jamais entendu parler de la piété de Frobénius...
e.v.
Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.
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marsup
March 2019
Oui d'ailleurs je me disais que je racontais un peu les choses à l'envers tout à l'heure avec mes racines.
On a vu que, avec $P(X) = X^p - X$, modulo $p$, on a : $P(X+1) = P(X)$.
Ainsi sur $F_p$, le polynôme $P(X)$ ne prend qu'une seule valeur, par récurrence, car $F_p \sim \Z/p\Z$ est cyclique.
Du coup cette valeur est $P(0) = 0$, et $\forall a \in F_p$, on a : $a^p = a$.
Et d'ailleurs si on simplifie par $X$, on trouve $\forall a \in F_p$ sauf $a=0$, on a : $a^{p-1} = 1$.
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Boole et Bill
March 2019
Oui je me suis embrouillé avec les $p$, je vois le truc maintenant
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