DISTRIBUCION BINOMIAL - Ejercicios Resueltos (2024)

Ejercicios de Distribución Binomial

Distribución binomial

La distribución binomial es una distribución de probabilidaddiscreta que describe el número de veces que ocurre un evento en una cantidaddeterminada de ensayos independientes y aleatorios, en los que el evento deinterés tiene una probabilidad fija de ocurrencia en cada ensayo.

La distribución binomial se describe por dos parámetros: n,el número de ensayos, y p, la probabilidad de éxito en cada ensayo. Serepresenta matemáticamente como B(n, p).

Fórmula de la distribución binomial

La fórmula para la distribución binomial es:

P(X = k) =(nCk) * p^k * (1-p)^(n-k)

donde:

• P(X = k) es la probabilidad de que ocurra el evento de interés exactamente k veces en n ensayos independientes

• nCk representa el coeficiente binomial, que es la cantidad de formas en que se pueden seleccionar k objetos de un conjunto de n objetos sin importar el orden

• p es la probabilidad de éxito en cada ensayo

• (1-p) es la probabilidad de fracaso en cada ensayo

Algunos aspectos importantes de la distribuciónbinomial son:

• Es una distribución de probabilidad discreta, ya que los resultados posibles son valores enteros y limitados.

• La suma de todas las probabilidades posibles debe ser igual a 1.

• La media de la distribución binomial es igual a n*p.

• La varianza de la distribución binomial es igual a np(1-p).

Principalescaracterísticas de la distribución binomial

1. La distribución binomial es un modelo de probabilidad discreta que se utiliza para describir eventos que solo pueden tener dos resultados posibles, como éxito o fracaso.

2. La distribución binomial se basa en una serie de ensayos independientes y idénticos, en los cuales la probabilidad de éxito se mantiene constante.

3. Los parámetros principales de la distribución binomial son el número total de ensayos (n) y la probabilidad de éxito (p).

4. La función de probabilidad binomial es simétrica cuando la probabilidad de éxito es igual a la probabilidad de fracaso.

5. La media de la distribución binomial es igual a np, mientras que la desviación estándar es igual a la raíz cuadrada de np*(1-p).

6. La distribución binomial se utiliza comúnmente en aplicaciones como la teoría de juegos, la teoría de la fiabilidad, la teoría de inventarios y la inferencia estadística.

7. La distribución binomial se puede aproximar por la distribución normal cuando n es grande y p está cerca de 0,5.

8. La distribución binomial es una de las distribuciones más utilizadas en estadística y probabilidad debido a su simplicidad y aplicabilidad en diversas situaciones.

Ejemplos Resueltos

1. Si un dado justo se lanza 10 veces, ¿cuál es la probabilidad de que salga un 3 exactamente 3 veces?

• n = 10 (10 lanzamientos del dado)
• k = 3 (3 veces que salió el 3)
• p = 1/6 (la probabilidad de que salga un 3 en cada lanzamiento del dado)
• P(X = 3) = (10C3) * (1/6)^3 * (5/6)⁷
• P(X = 3) = 0.155
• 
  

• n = 10 (10 tiros libres)
• k = 5 (5 veces que anotó el tiro libre)
• p = 0.7 (la probabilidad de que anote el tiro libre en cada intento)
• P(X = 5) = (10C5) * (0.7)^5 * (0.3)⁵
• P(X = 5) = 0.200

Ejercicios Resueltos

Ejercicio 1:

Una fábrica de chocolates produce barras de chocolate conuna probabilidad del 85% de que estén en buenas condiciones. Si se inspeccionan10 barras, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente 8 estén en buenascondiciones?

Solución:

Para este problema, necesitamos usar la distribuciónbinomial, donde

n = 10 (el número de barras inspeccionadas),

p = 0.85 (laprobabilidad de que una barra esté en buenas condiciones)

y x = 8 (el número debarras que queremos que estén en buenas condiciones).

Entonces, podemos usar la siguiente fórmula:

P(X = x) = (nCx) * p^x * (1-p)^(n-x)

Donde nCx es el coeficiente binomial (n combinado con x),que se puede calcular como n! / (x! * (n-x)!)

Así que tenemos:

P(X = 8) = (10C8) * 0.85^8 * (1-0.85)^(10-8)

P(X = 8) = (45) * 0.3274 * 0.0081

P(X = 8) = 0.1138

Por lo tanto, la probabilidad de que exactamente 8 barrasestén en buenas condiciones es del 11.38%.

Ejercicio 2:

Un estudiante está tomando un examen con 20 preguntas deopción múltiple. Si el estudiante adivina todas las respuestas, ¿cuál es laprobabilidad de que responda correctamente a exactamente 5 preguntas?

Solución:

De nuevo, podemos usar la distribución binomial, donde n =20 (el número de preguntas en el examen), p = 0.25 (la probabilidad de adivinarla respuesta correcta a una pregunta de opción múltiple) y x = 5 (el número depreguntas que queremos que el estudiante responda correctamente).

La fórmula a usar es la misma:

P(X = x) = (nCx) * p^x * (1-p)^(n-x)

Entonces, tenemos:

P(X = 5) = (20C5) * 0.25⁵ * (1-0.25)^(20-5)

P(X = 5) = (15504) * 0.0009766 * 0.7738

P(X = 5) = 1.199 x 10^-6

Por lo tanto, la probabilidad de que el estudiante respondacorrectamente a exactamente 5 preguntas es de 1.199 x 10^-6.

Ejercicio 3:

Resuelve paso a paso el siguiente problema "Un equipode fútbol ha ganado el 60% de sus partidos esta temporada. Si el equipo juega 8partidos más, ¿cuál es la probabilidad de que gane al menos 6 de ellos?"

Este problema se puede resolver usando la distribuciónbinomial. La probabilidad de que el equipo gane un solo partido es del 60%, porlo que la probabilidad de que pierda es del 40%.

Para encontrar la probabilidad de que el equipo gane almenos 6 de los 8 partidos, debemos calcular la probabilidad de que ganeexactamente 6, 7 u 8 partidos y sumarlas. Podemos usar la fórmula de ladistribución binomial para encontrar cada una de estas probabilidades:

P(X = k) =(nCk) * p^k * (1-p)^(n-k)

donde:

• n es el número de ensayos o partidos

• k es el número de éxitos o partidos ganados

• p es la probabilidad de éxito en cada ensayo o partido

• (1-p) es la probabilidad de fracaso en cada ensayo o partido

• nCk es el coeficiente binomial que representa el número de formas en que se pueden elegir k éxitos de un total de n ensayos

Para el problema dado, podemos usar la fórmula para calcularlas probabilidades de ganar exactamente 6, 7 u 8 partidos:

P(X = 6) = (8C6) * 0.6⁶ * 0.4² = 0.311P(X = 7) = (8C7) * 0.6⁷ * 0.4¹ = 0.376 P(X = 8) = (8C8) *0.6⁸ * 0.4⁰ = 0.167

Para encontrar la probabilidad de que gane al menos 6partidos, debemos sumar estas tres probabilidades:

P(X ≥ 6) = P(X = 6) + P(X = 7) + P(X = 8) =

0.311 + 0.376 +0.167 = 0.854

Por lo tanto, la probabilidad de que el equipo gane al menos6 de los 8 partidos restantes es del 85.4%.